上帝利用6天的時間創造了世界；月亮繞行地球只須28天；6和28的數字是否有無
特別之處呢？古希臘人以〝完全〞來替6和28命名，因為他們認為這些數是最完
美的，為什麼呢？
美麗的起源
畢達哥拉斯及其門徒稱6及28為完全數(或稱為完美數)，因為它們都是其真因數的和：
6的真因數：1，2，3 其和1+2+3=6
28的真因數：1，2，4，7，14 其和為1+2+4+7+14=28
所以，一個正整數的真因數和是本身，我們就稱它為完全數！
古人種樹
古人只知道四個完全數，分別是6、28、496和8128，因此他們做了幾個有趣的猜測：
(1) 由於前四個完全數的末位數字不是6就是8，而且還是依次出現，所以所有的完全
數的末位數量都是6或8，甚至是輪流出現的！
(2) 第一個完全數6是一位數；第二個完全數28是二位數；第三個完全數496是三位數
；第四個完全數8128是四位數；所以第五個完全數一定是五位數，以此類推
這些有趣的猜測結果是對還是錯呢？讓我們先來看看如何找出完全數！
天才的軌跡
歐幾里得發現(只有希臘神才知道他是怎樣發現的)這四個完全數都是由公式
[2^(n-1)]*[(2^n)-1]在n=2，3，5，7時產生的：
n=2 [2^(n-1)]*[(2^n)-1]=2*3=6
n=3 [2^(n-1)]*[(2^n)-1]=4*7=28
n=5 [2^(n-1)]*[(2^n)-1]=16*31=496
n=7 [2^(n-1)]*[(2^n)-1]=64*127=8128
歐幾里得更發現一個重要的事實，他將之寫成一個定理，這也就是在幾何原
本第九卷的最後一個定理：
公式[2^(n-1)]*[(2^n)-1]中，每當[(2^n)-1]是個質數的時候，就產生一個偶數
的完全數。
【證明】若[(2^n)-1]是一個質數，設為p則令m=[2^(n-1)]*[(2^n)-1]=[(2^n)-1]*p
這樣m的因數為
1，2，2^2，…，(2^n)-1，p，2p，(2^2)p，…..，[2^(n-1)]p
所以m的因數和為
[(2^n)-1]+p[(2^n)-1]= [(2^n)-1]*(1+p)
= [(2^n)-1]*(1+(2^n)-1)
= (2^n)*((2^n)-1)
= 2m
所以m的真因數和為2m-m=m 故得證！
不斷進步
過了約兩千年後，瑞士的偉大數學家尤拉證明了這個定理的逆敘述亦成立，即
若ｍ是個偶完全數，則ｍ=[2^(n-1)]*[(2^n)-1]，其中(2^n)-1是質數。
【證明】 令s(m)表為m的所有正因數的和。
因為m為偶數，
所以找得到一個正整數n>=2使得(2^n)-1整除m，但2^n不
整除m，
於是可設m=[2^(n-1)]*a，a為奇數，
(2^n)*a =2m= s(m)= s([2^(n-1)])*s(a)=[(2^n)-1]*s(a)
(2^n)*a =[(2^n)-1]*s(a)
因為2^n與(2^n)-1互質，
所以2^n整除s(a)，令s(a)= (2^n)*b，
a=[2^(n-1)]*b
若b>1，則a至少有三個正因數：1，b，a，
則s(a)>=1+b+a=1+b+[2^(n-1)]*b=(2^n)*b+1，
此與s(a) =(2^n)*b矛盾！
故b=1，所以a=[2^(n-1)]*b，又因為s(a)=1+a，
因此m=[2^(n-1)]*[(2^n)-1]，且(2^n)-1為質數。…………證畢
歸納成果
現在我們將歐幾里得和尤拉的結果寫成下面的定理：
設m是個偶數，則m是完全數的充要條件是存在一個質數p
使得(2^p)-1是質數，且m=[2^(p-1)]*[(2^p)-1]
這個定理告訴了我們如何去尋找這誘人的完全數，我們將(2^p)-1這個
數稱為梅聖尼數，而已知的梅聖尼質數只有30個，所以已知的偶完全數
只有30個：
|
序數 |
完全數 |
完全數的位數 |
|
1 |
2*(2^2-1)=6 |
1 |
|
2 |
2^2*(2^3-1)=28 |
2 |
|
3 |
2^4*(2^5-1)=496 |
3 |
|
4 |
2^6*(2^7-1)=8128 |
4 |
|
5 |
2^12*(2^13-1)=33,550,336 |
8 |
|
6 |
2^16*(2^17-1)=8,589,869,056 |
10 |
|
7 |
2^18*(2^19-1)=137,438,691,328 |
12 |
|
8 |
2^30*(2^31-1) |
19 |
|
9 |
2^60*(2^61-1) |
37 |
|
10 |
2^88*(2^89-1) |
54 |
|
11 |
2^106*(2^107-1) |
65 |
|
12 |
2^126*(2^127-1) |
77 |
|
13 |
2^520*(2^521-1) |
314 |
|
14 |
2^606*(2^607-1) |
366 |
|
15 |
2^1278*(2^1279-1) |
770 |
|
16 |
2^2202*(2^2203-1) |
1327 |
|
17 |
2^2280*(2^2281-1) |
1373 |
|
18 |
2^3216*(2^3217-1) |
1937 |
|
19 |
2^4252*(2^4253-1) |
2561 |
|
20 |
2^4422*(2^4423-1) |
2663 |
|
21 |
2^9688*(2^9689-1) |
5934 |
|
22 |
2^9940*(2^9941-1) |
5985 |
|
23 |
2^11,212*(2^11,213-1) |
6751 |
|
24 |
2^19,936*(2^19,937-1) |
12003 |
|
25 |
2^21,700*(2^21,701-1) |
13006 |
|
26 |
2^23,208*(2^23,209-1) |
13973 |
|
27 |
2^44,498*(2^44,497-1) |
26790 |
|
28 |
2^86,242*(2^86,243-1) |
51924 |
|
29 |
2^132,048*(2^132,049-1) |
79,502 |
|
30 |
2^216,090*(2^216,091-1) |
130,100 |
●在GIMPS的研究中，說明目前找到了31個 Mersenne prime, 這個尋找的工作
仍在進行中…
【備註】
1.前24個完美數是在1975年以前發現的，其中最後一個是2^19936*(2^19937
－1)，是在1971年發現的。
2.而這24個中有一半是在1952年以後發現的；而第30個完全數是在1986年9月
被發現的！
結論
由上我們可以看出古希臘人的第二個猜測(第五個完全數一定是五位數，以此
類推！)是錯的！不過關於第一個猜測（所有的完全數的末位數量都是6或8，甚至
是輪流出現的！）雖並不完全正確(因為6和8並未輪流出現)，不過，他們似乎
猜對了一件事，只要是偶完全數，個位數不是6就是8！
為什麼呢？這是根據下面的定理：
對於任意的正整數n，令an=22n(22n+1-1)，則
(2) 若n是奇數，則an的個位數是8且十位數是2；
【證明】留給有興趣的人自己證明！！
細心的讀者一定會發現：目前已知的完全數都是偶數，那有沒有奇完全
數呢？
我們知道由歐幾里得公式所得到的完全數一定是偶數，那麼，不從歐幾里得公式
可以找到任何一個完全數嗎？也就是說奇完全數存在嗎？數學家們經過了許多的
努力，得到以下若干的結論：
超過三十萬，而第二大的質數必超過一千！
２ 如果一個奇完全數不能被三整除，那麼它必定被十一個不同的質數所整除！
３若一個奇完全數被12除的餘數是1，則它被36除的餘數會是9！
數學家們做了這麼多努力，越覺得奇完全數存在的可能性越小！在1973年，
數學家海琪斯透過電腦證明出在10^50以下，沒有奇完全數的存在！他的證明全
部有83頁 ，曾經由其他的數學家們予以詳細驗證，確定其過程是無誤的。所以，
我們可以知道 在10^50以下，沒有奇完全數的存在！
從1973年以來，其他的數學家依然透過電腦，宣布在10^200以下，沒有奇完全數
的存在！(這並未經過數學家的詳細驗證！)
完全數如何求出？是否有無限多個？
這兩個問題是數學家們在幾千年前就提出來了
，然而，直到今日，這仍然沒有完整的答案，我們只能提出一部分的解答，更確切
的說，我們只能說明那一種偶數是完美數，至於這種偶數是否有無限多個，及有無
奇完美數的存在，這就有待後世的努力！
【延伸內容】
梅聖尼(Mersenne)是十七世紀的巴黎修道士，他在修道院職務之餘研究數論。
在1644年，梅聖尼說明過梅聖尼數字的2^13-1、2^17-1、2^19-1都是質數(分別為
8,191、131,071、524,287)，並聲明，巨大的梅聖尼數字2^167-1將可以證明是
一個質數，這樣大膽的聲明在往後的兩百多年，竟然沒想到引起任何人的爭論！
到了1903年，在美國數學學會的會議中，一名哥倫比亞大學的教授
佛蘭克•納爾遜•柯爾起立遞呈一篇研究報告，這篇報告很謙虛的題名為
〝有關大數字的因子分解法〞。聞名的數學歷史家艾立克•譚普爾•貝爾
記錄當時的所發生的情形，他寫道，「柯爾─他一直是說話很少的人─跑
到黑板那邊，不聲不響的開始寫下算式，把2一直乘到167次方，隨後小心
的減去1。他不吭一聲地在黑板上清除留出空位，隨後寫出相乘的數字193,707,721
*761,838,257,287，這兩個結果吻合，於是梅聖尼大膽宣布2167-1是一個質數的申
言，就此打入數學神話的冷宮裡去。他第一次首開紀錄(而且是唯一的紀錄)，美國
數學學會上所有的聽眾，對這篇研究報告的作者大大地鼓掌喝采。柯爾回到座位上
去亦一言不發，沒有人問他問題。」
(節錄自數學傳播季刊十卷四期p54，曹宏熙譯，完全數)
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