數學王子已經介紹過速算平方根(當平方根為整數時)的方法，這一次數學王子想一起來探討一下，當平方根非整數時，是否可求出近似值的方法。(當然計算機、直式開根號仍然可行!)
它只用到簡單的乘法公式喔∼

【註】：本內容適合國中二年級上學期。

１.請回想一下完全平方公式：

　　∵ (a+b)= 　a+2ab+b　

２.如果現在有一個整數N，設N>0，且存在s>0，使得

　　 N=a+ d = (a+x) = a+2ax+x

　　 即 d = 2ax+x，當x很小很小時，x 很靠近0

　 　故 d = 2ax => x = d/2a

　　 即 N 近似 (a + d/2a)

　　　【結論】：N 近似 (a + d/2a)

３.實際練習

　(1)求5的正平方根。

　　　作法： 　　

　　　　　　∵　5＝2+1＝(2+x)

　　　　　　∴ 由上面結論知　5＝2+1＝(2+1/2×２)＝2.25

　　　　　　答:　5的正平方根約為 2.25　　　　　　　 　

　(２)求11的正平方根。

　 　　作法： 　　

　　　　　　∵　11＝3+2＝(3+x)

　　　　　　∴ 由上面結論知　11＝3+2＝(3+2/2×3)＝3.33

　　　　　　答:　11的正平方根約為 3.33　　　

 

自我驗收（看答案，請直接按題目後的文字）

　　１.求17的正平方根=?　　 本法近似值　　由計算機計算

　　２.求52的正平方根=?　 　本法近似值　　由計算機計算

　　３.求101的正平方根=?　　本法近似值　　由計算機計算

 

後記

　　(1)這個方法是古代的中國、阿拉伯用來計算平方根似值的方法。

　　(2)公式中x=d/2a的由來，若用現代數學的眼光來解釋，可看成:

　　　　求y的正平方根(y=x)時，

　　　　由「y的微分（differential）」，可得dy=2xdx

　　　　則dx=dy/2x　

　　(3)這從「二項式定理」也可得到端倪。

 

數學王子