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Thinking Mathematically

日期
主題
作者(提供者)
2000/11/08
二、狀況簡介

 問題

    在圓O外有一點P, 請問用尺規作圖,要如何才能過P作圓O的切線

    呢?

         

  ●學生想法與作法:

   1想法:

     a.回憶切線的意義。

     b.想辦法畫出和半經垂直的直線。

   2作法:

          

    

       1以P為圓心,OP為半徑畫弧,設交圓O於M

       2連OM,則OM即為所求。

       這個作法對嗎?

老師的提醒:

     1.如果這個方法是對的,那麼P點的位置在那堥瓣ㄦ|有任何的

      影響才對,可是當我們把P點往圓O移動,再用同一個方法畫一

      次,卻很明顯的看出來,這條「切線」和圓O有兩個交點??

      因此這個作法有問題。

            

     2.那麼畫才正確呢?

      【思考】

       1如果這條切線畫好了,那麼圖形應該是什樣子?

        因為PM為切線,所以∠OPM=90°

       2至此問題轉化成「如何畫出一個如下圖的直角△呢」?

              

     ●利用直徑所對圓周角等於90°的觀念

       1利用中垂線作圖,找出OP的中點G。

       2以G為圓心,OG長為半徑,畫弧,交此弧交圓O於M

       3連PM,則PM即為所求。

          

     ●利用三角形全等的觀念

       1以O為圓心,OP長為半徑作一同心圓O'。

       2連OP,設OP交O'於A

       3過A點作垂線BA交圓O'於B,連AB、PM

       4∵△OAB全等△OMP(為什麼呢?)

        ∴∠OAB=∠OMP=90°

        PM為過P點的切線。

            

    

後記  

     1.在第二個作法中,為什麼△OAB全等△OMP呢?

      因為:在△OAB與△OMP中

         AO=MO(圓O的半徑)

         PO=BO(圓O'的半徑)

         ∠BOA=∠POM(共用角)

      所以,△OAB全等△OMP(SAS全等)

     2.第二個作法,出現在幾何原本第三卷,第17命題中。

  

相關內容:

      實驗區 圓外一點對圓的切線

 

年級的課程進入到幾何的部份,幾何是數學上歷史悠久的學門,我們當然無法重新經歷數學家漫長的思考過程,但是卻可以在研讀這些精華時,體驗當初思考的感覺…
【註】:本內容適合國中三年級上學期
過圓外一點作圓的切線之方法
數學王子

一、前言

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