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04/15/2000 如何證明 a_n=(2/1)*(2/3)*(4/3)*…收歛?

聽我怎麼說!

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註:這一題是「血」在留言版請問網友的問題,因已找到解答,特貼   於留言版上,數學王子將其載至網頁中。

【血的說明】(留言抄錄)
  1.知道了,在楊維哲的書上有(同學買的,我借來看)

  2.是由求∫(sinx)^n dx(x=0 to pi/2,pi為圓周率)導出的

   令 I_n=∫(sinx)^n dx(x=0 to pi/2,pi為圓周率)

  計算得I_0=pi/2 I_1=1 用部分積分知道:(sinx是-cosx的微分)

  I_n=∫(sinx)^(n-1)*sinx dx(x=0 to pi/2)

  I_n=-cosx*(sinx)^(n-1)+(n-1)∫(cosx)^2*(sinx)^(n-2) dx (x=0 to pi/2)

   =0+(n-1)∫(cosx)^2*(sinx)^(n-2) dx (x=0 to pi/2) =(n-1)∫[1-

    (sinx)^2]*(sinx)^(n-2) dx (x=0 to pi/2)

   =(n-1)[∫(sinx)^(n-2) dx-∫(sinx)^n dx] =(n-1)I_(n-2) + (1-n)I_n

   移項知道

  I_n=(n-1)/n*I_(n-2) 分成2種情形

  (a)n是偶數

  I_n=(n-1)/n*I_(n-2)=[(n-1)(n-3)]/[n*(n-2)]*I_(n-4)=..........={[(n-1)(n-

    3)*...*3*1]/[n*(n-2)*...*4*2]}*I_0

   =pi/2*[(n-1)(n-3)*...*3*1]/[n*(n-2)*...*4*2]

   (b)n是奇數

  I_n=(n-1)/n*I_(n-2)=...=[(n-1)(n-3)*..*4*2]/[n*(n-2)*..*3*1] *I_1

   =[(n-1)(n-3)*..*4*2]/[n*(n-2)*..*3*1]

   由於0 0<(sinx)^(2n+1)<(sinx)^(2n)<(sinx)^(2n-1)

   於是知道

   I_(2n+1) 上是化簡成:(並取lim n→∞)

   lim n→∞(2n)/(2n+1)<=lim n→∞ n{[1*3*..*(2n-1)]/[2*4*...*(2n)]}^2<=1

    由夾擊原則知 lim n→∞1/n*{[2*4*...*(2n)]/[1*3*...*(2n-1)]}^2=pi

     這就是證明!