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日期	主題	作者(提供者)
05/03/2000	街道問題	數學王子

聽我怎麼說！

【數學王子的提醒】
　 1.其實這一題是一個世界名題，作法有很多種。

　　現在我們來思考這個問題，先看老張的情形，假設老張的門牌
　　號碼是y，而且那一邊共有x間房子。

　　則：

　　1+3+5+7+…+(y-2)=(y+2)+(y+4)+…+(2x-1) Why?

　２.因為

　　「老張家東面的所有房子的門牌號數之和恰巧等於他家西面的所　　　有房子的門牌號數之和」

　　 所以，只要算出左邊之和＝右邊之和，即可。

　　左邊共有[(y-2)-1]/2 +1 項，右邊共有[(2x-1)-(y+2)]/2+1項

　　代入「等差級數公式」可得：

　　　左邊＝

　　　右邊＝<備註>

　　　

　　　由左式＝右式　可解得　

　　　x=29, y=41但x 應大於50，小於500，故正確解為

　　　 x=169 　y=239

　　　由上可知老張門牌號碼為239號，奇數邊共有169間房子。

　　　同理，可求出

　　　小李門牌號碼為408號，偶數邊共有288間房子。

【備註】

　　　　在解左式＝右式的過程中，會化簡得到

　　　　2X-Y=1, 這類方程式叫pell方程式（不定方程）

　　

【門牌號碼是幾號呢?】 　　有一條東西走向的大街，街的兩邊都有房子。一邊從1號開始， 門牌號碼都是相繼的奇數，另一邊從2號開始，門牌全是相繼的偶數。街道兩邊的房子數在5與500之間。老張住在奇數的一邊，奧妙的是:他家東面的所有房子的門牌號數之和恰巧等於他家西面的所有房子的門牌號數之和。小李住在偶數門牌的一邊，在他家東面的所有房子的門牌號數之 和也正好等於他家西面的所有房子的門牌號碼之和。請問老張和小李兩家的門牌各是幾號?