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請問：

自然數a,b,c除以11分別於餘3,7,5，求a的平方乘b的三次方+c除以11的餘數為何?

思考：
看到這個題目, 我們應該會幾個思考方向:
1.可不可以找到符合條件的 a,b,c？
2.有沒有一般性的作法?


作法：
【法一】猜猜看a,b,c之值。
　　　　因為自然數a,b,c除以11分別於餘3,7,5，所以我們可以猜測
　　　　a=14,25,36.....
　　　　b=18,29,40.....
　　　　c=16,27,38.....

　　　　特殊化的想法是取a=14,b=18,c=16代入題目中計算答案。
　　　　所以 a×b＋c＝1143088
　　　　故1143088除以11的餘數=1

【法二】利用同餘式　
　　　　何謂同餘：除以固定數字後，有相同餘數稱之。
　　　　記號　　　a÷b=q....r
　　　　可寫成　ar(mod b)
　　　　 例如:

　　　　　　14÷3=4…1　　　　　141 (mod 3）
　　　　　　 23÷3=7…2　　　　　232 (mod 3)
　　　　　　95÷3=31…2　　　　 952 (mod 3）　　　　　
　　　　　　338÷3=112…2　　　 3382 (mod 3)

　　　　【同餘式的性質】

　　　　　 (1) aa 　　(mod n)

　　　　 　(2) 若ab　 (mod n) 則 ba　 (mod n)

　　　　 　(3) 若ab ,bc (mod n) 則 ac　 (mod n)

　　　　　 (4) 若ab (mod n) 則 acbc　 (mod n)

　　　　　 (5) 若ab ,cd (mod n) 則 a+cb+d　 (mod n)

　　　　　 (6) 若ab ,bc (mod n) 則 a-cb-d　 (mod n)
　　

　　　　　因此a,b,c除以11分別於餘3,7,5，求a的平方乘b的三次方+c除以11的餘數為何?
　　　　　 可改寫成　a3　 (mod 11)
　　　　　　　　　　b7 　(mod 11)
　　　　　　　　　　c5 　(mod 11)
　　　　　求a×b＋c□　(mod 11)
　　　　　由以上同餘式的性質可得
　　　　　a×b＋c3×7＋5　(mod 11)
　　　　　　　　　 3092　　　 (mod 11)
　　　　　　　　　 １　　　　 (mod 11)