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最後更新日期 2007年8月12日  

數學思考

請問:

自然數a,b,c除以11分別於餘3,7,5,求a的平方乘b的三次方+c除以11的餘數為何?


思考
看到這個題目, 我們應該會幾個思考方向:
1.可不可以找到符合條件的 a,b,c?
2.有沒有一般性的作法?


作法
【法一】猜猜看a,b,c之值
    因為自然數a,b,c除以11分別於餘3,7,5,所以我們可以猜測
    a=14,25,36.....
    b=18,29,40.....
    c=16,27,38
.....

    特殊化的想法是取a=14,b=18,c=16代入題目中計算答案。
    所以 a×b+c=1143088

    故1143088除以11的餘數=1



【法二】利用同餘式 
   
 何謂同餘:除以固定數字後,有相同餘數稱之。
    記號   a÷b=q....r
    可寫成 ar(mod b)
     例如:

      14÷3=4…1     141 (mod 3)
       23÷3=7…2     232 (mod 3)
      95÷3=31…2     952 (mod 3)     
      338÷3=112…2    3382 (mod 3)

    【同餘式的性質】

      (1) aa   (mod n)

      (2) 若ab  (mod n) 則 ba  (mod n)

      (3) 若ab ,bc (mod n) 則 ac  (mod n)

      (4) 若ab (mod n) 則 acbc  (mod n)

      (5) 若ab ,cd (mod n) 則 a+cb+d  (mod n)

      (6) 若ab ,bc (mod n) 則 a-cb-d  (mod n)
  

     因此a,b,c除以11分別於餘3,7,5,求a的平方乘b的三次方+c除以11的餘數為何?
      可改寫成 a
3  (mod 11)
          b7  (mod 11)
          c5  (mod 11)
     求
a×b+c□ (mod 11)
     由以上同餘式的性質可得
     a×b+c3×7+5 (mod 11)
          3092    (mod 11)
          1     (mod 11)

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