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最後更新日期 2008年7月14日  

          巴斯卡三角形的秘密                      數學王子

7年台南市國中教師甄選的數學科試題中有這麼一個題目(第10題):

 

◆法一:直接算--將1+x利用乘法公式乘10次

 原式=

     係數從小到大排列為1,1,10,10,45,45,120,120,210,210,252
     所以係數的中位數為 45


◆法二:利用巴斯卡三角形

   

   這些數字其實就是兩項(a+b)展開之後的係數,所以:

     係數從小到大排列為1,1,10,10,45,45,120,120,210,210,252
     所以係數的中位數為 45

很多的秘密都藏在這個三角形中,我們稱之為巴斯卡三角形(也有翻譯成帕斯卡),在高中時,
這個學習主題屬於「組合」,稱之為「二項式定理」。


【巴斯卡三角形的秘密】
(1)二項式展開式的係數與次方的關係
 
 (A)從第三列開始是(a+b)的2次方展開之後的係數,請注意看它們如何對應到「次方」,
   很簡單喔。
 (B)次方與項數的關係是『項數=次方+1』


(2)二項式展開式的奇偶項係數間的關係

 由上圖可看出,每一列中奇數項的係數和等於偶數項的係數和。

(3)每一列的總和
 
 1+10+45+120+…+10+1=1024  

  由上圖,不用多說明,就可以瞭解它的厲害之處吧。

(4)求出某一列數字的總和
  
  有很多數列可以找喔,例如:
  1+2+3+4+5+6+7=28
  1+5+15+35+70+126=252

  ………


(5)如何求出某一列、某一個特定數字之值
 ◆求展開式的第7項係數之值。
 為了解決這一題,我們必須把看家本領「二項式定理」使出來,說明如下:
 
 其中
叫作組合意思是在n個數字中要選取r個的方法數。
   
 
  
因此,展開式的第7項係數
    


(6)巴斯卡三角形中的數字是對稱的
  
  因此,我們只要知道左邊的數字,就能寫出右邊的數字,反之亦然 。
  但是,如果知道某一列的第3個數字與第7個相同,請問它共有多少項呢?

  (A)用想的

  因為對稱之故,第3個數字之後還有2個數字,故第7個數字後面也會有2個,
   所以共有9項。

  (B)用算的
   我們以(a+b)的9次方的係數為例:
  
 
   因為,
      
  推廣可得  『第r項的係數』等於『第n-r+2項的係數』

  《另法》由組合的原理來看
     第r項的係數===第n-r+2項的係數

(7)求某一列係數的中間項
 
  以我們最剛開始的這一題為例,因為10次方共有11項,因此係數的中位數是第(11+1)÷2=6項。
  因此第6項之值=
   
   

【一般化】
 n次方,共有(n+1)項
◆若n為偶數時,則n+1為奇數,因此中間項為第

若n為奇數時,則n+1為偶數,
此時有兩種說法:
  一說:無中間項。

  一說:有兩個中間項,就是最中間的兩個

  此時,中間項為第與第 

 

【牛刀小試】

<解答>
第15列意思就是n=14,第8個數字就是
,選C

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