2008年7月14日
巴斯卡三角形的秘密 數學王子
９７年台南市國中教師甄選的數學科試題中有這麼一個題目(第10題):
◆法一：直接算--將1+x利用乘法公式乘10次
原式=
係數從小到大排列為１,1,10,10,45,45,120,120,210,210,252
所以係數的中位數為 45
◆法二：利用巴斯卡三角形
這些數字其實就是兩項（a+b）展開之後的係數，所以：
係數從小到大排列為１,1,10,10,45,45,120,120,210,210,252
所以係數的中位數為 45
很多的秘密都藏在這個三角形中，我們稱之為巴斯卡三角形(也有翻譯成帕斯卡)，在高中時，
這個學習主題屬於「組合」，稱之為「二項式定理」。
【巴斯卡三角形的秘密】
(1)二項式展開式的係數與次方的關係
(A)從第三列開始是(a+b)的2次方展開之後的係數，請注意看它們如何對應到「次方」，
很簡單喔。
(B)次方與項數的關係是『項數=次方+1』
(2)二項式展開式的奇偶項係數間的關係
由上圖可看出，每一列中奇數項的係數和等於偶數項的係數和。
(3)每一列的總和
1+10+45+120+…+10+1=1024
由上圖，不用多說明，就可以瞭解它的厲害之處吧。
(4)求出某一列數字的總和
有很多數列可以找喔，例如:
1+2+3+4+5+6+7=28
1+5+15+35+70+126=252
………
(5)如何求出某一列、某一個特定數字之值
◆求
展開式的第7項係數之值。
為了解決這一題，我們必須把看家本領「二項式定理」使出來，說明如下：
其中
叫作組合，意思是在n個數字中要選取r個的方法數。
因此，展開式的第7項係數
(6)巴斯卡三角形中的數字是對稱的
因此，我們只要知道左邊的數字，就能寫出右邊的數字，反之亦然 。
但是，如果知道某一列的第3個數字與第7個相同，請問它共有多少項呢?
(A)用想的
因為對稱之故，第３個數字之後還有２個數字，故第７個數字後面也會有２個，
所以共有９項。
(B)用算的
我們以(a+b)的9次方的係數為例：
因為，
推廣可得 『第r項的係數』等於『第n-r+2項的係數』
《另法》由組合的原理來看
第r項的係數＝
=
=第n-r+2項的係數
(7)求某一列係數的中間項
以我們最剛開始的這一題為例，因為10次方共有11項，因此係數的中位數是第(11+1)÷2=6項。
因此第6項之值=
【一般化】
n次方，共有(n+1)項
◆若n為偶數時，則n+1為奇數，因此中間項為第
項
◆若n為奇數時，則n+1為偶數，此時有兩種說法：
一說：無中間項。
一說：有兩個中間項，就是最中間的兩個
此時，中間項為第
項與第
項
【牛刀小試】
<解答>
第15列意思就是n=14，第8個數字就是
，選C