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最後更新日期 2007年12月9日  

數學思考

請問:

首項5,公差3/2之等差數列,若奇數項之和比偶數項之比大20,求此數列之項數。


思考
看到這個題目, 我們應該會幾個思考方向:
1.可不可以直接列出加以計算?
2.有沒有規律可循?


作法
【法一】直接列出加以計算
    

項數n 1 2 3 4 5 6 7
奇數項和 5 5 5+(5+3) 5+(5+3) 5+(5+3)+(5+6)   5+(5+3)+(5+6)+(5+9)
偶數項和 0 5+3/2 5+3/2 5+3/2+5+9/2 (5+3/2)+(5+9/2)   (5+3/2)+(5+9/2)+(5+15/2)
奇-偶 5 -3/2 5+3/2 -3 5+(3/2)•2   5+(3/2)•3

由上式的觀察可知,項數必為奇數項,且奇數項和-偶數項和=5+3/2•X

由題意  奇數項和-偶數項和=5+3/2•X

             =20

故 X=10
由上表,反推即知 項數n=21


【法二】利用等差級數公式來計算 
    因為奇數項之和-偶數項之和=20,故可知此數列必有奇數項。(Why?)
    奇數項 首項=5, 公差 3/2, 項數n+1

    偶數項 首項=5+3/2, 公差 3/2, 項數n
    由等差級數公式知    ◆等差級教=n/2 ×[2a+(n-1)d]  其中n為項數,a為首項
                                    d為公差 

    (n+1)/2 ×[2×5+(n+1-1)d]- n/2 ×[2×(5+3/2)+(n-1)d] = 20
      兩邊同乘2,並化簡得
     (n+1)(10+3n)-n(10+3n)=40
     10+3n=40
      n=10

     故此等差數列有共有10+11=21項

 

【法三】列出來計算
 
   依照題意,此數列之各項應如下所示:
    5 ,  6.5  ,  8 ,  9.5  , 11 ,  12.5  , 14 , 15.5  ,…
    將奇數項與偶數項改成上下排列,可發現有趣的特性,
    奇數項 5 ,   8 ,   11 ,  14 , 17  ,…
    偶數項    6.5  ,9.5  , 12.5  ,15.5  ,…
        5 1.5  1.5   1.5  1.5  ,…
    
    明顯地,若奇數項之和與偶數項要相差20,必是5+1.5×10=20
     故總項數有21項。

 

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