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　　　　　　　　　　　等差級數的小秘密　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　數學王子

我們在解以下的題目　一等差數列，前十項總和為10，前廿項總和５，試問此數列前三十項之和為何?

時，看到這個題目, 我們應該會有幾個思考方向:
可以直接利用代入級數的公式來計算，由等差級數公式知，設首項為a，項數為n

前十項總和為10=5×(2a+9d)

前廿項總和為５=10×(2a+19d)

解聯立方程式得　　　　　　　　　　　　　

　 a=67/20 　　　　d=－3/20　代入方程組中，

故前卅項總和為＝15×(2a+29d)

　　　　　　　＝15×(-1)

　　　　　　　＝－１５

但是有同學問說：是否有更快一點的方法呢？
因此，我們將這個級數的前n和，以首項a, 項數n，公差d的方式來表示，嘗試發現它們是否有特性可尋：

Ｓ10	前10項之和 5×(2a+9d)=10a+45d	11項至20項之和 10a+145d
Ｓ20	前20項之和 10×(2a+19d)=20a+190d		21項至30項之和 10a+245d
Ｓ30	前30項之和 15×(2a+29d)=30a+435d=3×(Ｓ20-Ｓ10)			31項至40項之和 10a+345d
Ｓ40	前40項之和 20×(2a+39d)=40a+780d				41項至50項之和 10a+445d
Ｓ50	前50項之和 25×(2a+49d)=50a+1225d=5×(Ｓ30-Ｓ20)					41項至50項之和 10a+545d
Ｓ60	前60項之和 30×(2a+59d)=60a+1770d						51項至60項之和 10a+645d
Ｓ70	前70項之和 35×(2a+69d)=70a+2415d=7×(Ｓ40-Ｓ30)

故知 　　
由上表的列式，可猜測其規律得　　　

　其中n為奇數且n>=3。
　Is it right?

其實它並不難理解，我們可以利用三項的等差數列來思考：
若有一等差數列a1,a2,a3
因為a2為等差中項，故a2=1/2(a1+a3)
換句話說，a1+a3=2a2
因此，此數列之和為　a1＋a2＋a3＝２a2+a2=3a2
→意思就是找出中間項，再乘以項數即可。

依此類推至上述題目Ｓ30之和時，

可將S30想成欲求一個只有３項的新的等差數列之和，它的各項分別是1~10項之和，11~20項之和，21~30項之和
之等差數列→意思就是中間項為「11~20項之和」，項數有「３項」即可。

　　　　因此

　　　　　　　S30=3×(11~20項之和)

　　　　亦即