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最後更新日期 2007年12月19日  

           等差級數的小秘密                         數學王子

們在解以下的題目 一等差數列,前十項總和為10,前廿項總和5,試問此數列前三十項之和為何?

時,看到這個題目, 我們應該會有幾個思考方向:
可以直接利用代入級數的公式來計算,由等差級數公式知,設首項為a,項數為n

前十項總和為10=5×(2a+9d)

前廿項總和為5=10×(2a+19d)

解聯立方程式得             

  a=67/20     d=-3/20 代入方程組中,

前卅項總和為=15×(2a+29d)

       15×(-1)

       =-15

但是有同學問說:是否有更快一點的方法呢?
因此,我們將這個級數的前n和,以首項a, 項數n,公差d的方式來表示,
嘗試發現它們是否有特性可尋:

S10

前10項之和
5×(2a+9d)=10a+45d

11項至20項之和
10a+145d
         
S20 前20項之和
10×(2a+19d)=20a+190d

21項至30項之和
10a+245d

       
S30

前30項之和
15×(2a+29d)=30a+435d=3×(S20-S10)

31項至40項之和
10a+345d
     
S40 前40項之和
20×(2a+39d)=40a+780d
41項至50項之和
10a+445d
   
S50 前50項之和
25×(2a+49d)=50a+1225d=5×(S30-S20)
41項至50項之和
10a+545d
 
S60 前60項之和
30×(2a+59d)=60a+1770d
51項至60項之和
10a+645d
S70 前70項之和
35×(2a+69d)=70a+2415d=7×(S40-S30)


故知   
由上表的列式,可猜測其規律得   

 其中n為奇數且n>=3。
 Is it right?

其實它並不難理解,我們可以利用三項的等差數列來思考:
若有一等差數列a1,a2,a3
因為a2為等差中項,故a2=1/2(a1+a3)
換句話說,a1+a3=2a2
因此,此數列之和為 a1+a2+a3=2a2+a2=3a2
→意思就是找出中間項,再乘以項數即可。

依此類推至上述題目S30之和時,

可將S30想成欲求一個只有3項的新的等差數列之和,它的各項分別是1~10項之和,11~20項之和,21~30項之和
之等差數列
→意思就是中間項為「11~20項之和」,項數有「3項」即可。

    因此

       S30=3×(11~20項之和)

    亦即 

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